Алгебра (универсальная алгебра)
Алгебра (универсальная алгебра) — множество [math]\displaystyle{ A }[/math], называемое носителем алгебры, снабжённое набором [math]\displaystyle{ n }[/math]-арных алгебраических операций на [math]\displaystyle{ A }[/math], называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.
Свойства
Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если [math]\displaystyle{ \varphi: A \rightarrow A' }[/math] — гомоморфизм алгебр, а [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — ядерная конгруэнция [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ \theta = \{(x, y)\in A\times A|\varphi(x)=\varphi(y) \} }[/math]), то факторалгебра [math]\displaystyle{ A/\theta }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ A' }[/math].
Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов [math]\displaystyle{ \mathbf{Aut} A }[/math], моноид эндоморфизмов [math]\displaystyle{ \mathbf{End} A }[/math], решётка подалгебр [math]\displaystyle{ \mathbf{Sub} A }[/math], решётка конгруэнций [math]\displaystyle{ \mathbf{Con} A }[/math], в частности, показано, что для любой группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и решёток [math]\displaystyle{ L_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] существует такая универсальная алгебра [math]\displaystyle{ A }[/math], что [math]\displaystyle{ G \cong \mathbf{Aut} A }[/math], [math]\displaystyle{ L_0 \cong \mathbf{Sub} A }[/math], [math]\displaystyle{ L_1 \cong \mathbf{Con} A }[/math].
Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).
См. также
Литература
- Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
- Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах. — М.: Наука, 1990—1991. — 592 с + 480 с. с.
- Скорняков Л. А. Универсальная алгебра — статья из Математической энциклопедии